합성함수의 미분법에 대한 고찰.

안녕하세요 오늘은 합성함수의 미분법에 대하여 다른 방법으로 생각해보았습니다. 

보통 합성함수의 미분법은 고등과정에서 배우는데 

 

 

라고 보통 배웁니다. 저는 겉미분 속미분이라고 암기했던 거 같습니다. 

예를 들어 f(x) = sin(x)와 g(x) = x^2, 그리고 f(x)와 g(x)의 합성 함수인 h(x)=f(g(x))가 있다고 생각해봅시다.

 

 

그러면 f(x)의 도함수 f'(x) = cos(x), g(x)의 도함수 g'(x) = 2x 인 것을 이용해서 h(x)의 도함수 h'(x)를 쉽게 구할 수 있습니다.

 

 

위와 같이 h'(x)을 구할 수 있습니다. 하지만 왜 합성함수 미분법을 저런 식으로 해야 하는지 궁금하여 개인적으로 공부했습니다. 

 

일단 dy/dx 가 어떤 의미를 가졌는지부터 생각을 하면, dy/dx의 의미는 y= f(x)라는 함수를, 즉 x라는 변수를 가지는 y를 그 변수인 x에 대하여 미분했다는 의미를 갖습니다. 

그러면 합성함수의 미분법에 대하여 생각해보면.

 

 

합성함수 h(x)를 x에 대하여 미분할 때, f(g(x))라는 함수에 변수는 g(x) 이므로 g(x)라는 "변수"에 대하여 미분을 합니다. 하지만 그 g(x)도 x라는 변수에 의하여 변하므로 g(x)로 d/dx로 미분을 해줍니다. 

 

 

이제 이걸 역으로 생각을 해보면,  x라는 변수에 의해 g(x)가 변하고, 그 g(x)는 또 다른 변수가 되어 f(g(x))라는 함수의 값에 영향을 끼칩니다. 이는 확률의 곱의 법칙으로 생각해보자면 동시에 일어나는 사건들이니 각 d/dg {f(g(x))}와 d/dx {g(x)}을 곱합니다.

 

 

이렇게 합성함수의 미분법에 대하여 이런 방식으로도 설명을 해보았는데. 솔직히 수학 전공하시는 분들이 보시면 뒷목 잡으실 거 같은데 여태까지 쓴 게 아까우니 그냥 올렸습니다. 당시에는 엄청난 발견 같았는데 지금 생각해보니 뇌절 같네요. 

 

 

 

본 게시물은 제가 공부한 내용을 올린 글이라 내용이 틀리거나 오류가 있을 수도 있습니다. 만약 그럴 시 jaewonahn1234@gmail.com으로 피드백해주시면 감사하겠습니다.